CBSE Questions for Class 12 Commerce Applied Mathematics Indefinite Integrals Quiz 9 - MCQExams.com

$$\\\int\>(\frac{(1+x^2-1)tan^{-1}x}{1+x^2})dx\\=\int\>\left(1-(\frac{1}{1+x^2})\right)tan^{-1}x\>dx\\=\int\>1.tan^{-1}dx-\int\>(\frac{tan^{-1}x}{1+x^2})dx\\Use\>ILATE\>in\>first\>part\>and\>assume\\tan^{-1}x=t\>for\>second\>integration\\=xtan^{-1}x-\int\>(\frac{1}{1+x^2})\times\>xdx-\int\>t\>dt\\=xtan^{-1}x-(\frac{1}{2})log|1+x^2|-(\frac{t^2}{2})+C\\=xtan^{-1}x-(\frac{1}{2})log|1+x^2|-(\frac{(tan^{-1}x)^2}{2})+C\\\therefore\>C=-(\frac{1}{2})(tan^{-1}x)^2$$

$$\displaystyle \int \dfrac{x^2 + 1}{x^4 + 1} . dx$$

$$\begin{array}{l} \int { \frac { { 1+{ x^{ 2 } } } }{ { \left( { 1+{ x^{ 2 } } } \right) \sqrt { 1+{ x^{ 4 } } }  } } dx }  \\ \int { \frac { { \left( { 1-{ x^{ 2 } } } \right)  } }{ { { x^{ 2 } }\left( { x+\frac { 1 }{ x }  } \right) \sqrt { { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  }  } } dx }  \\ =\int { \frac { { \left( { \frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } } -1 } \right) dx } }{ { \left( { x+\frac { 1 }{ x }  } \right) \sqrt { { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  }  } }  }  \\ =-\int { \frac { { \left( { 1-\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  } \right) dx } }{ { \left( { x+\frac { 1 }{ x }  } \right) \sqrt { { { \left( { x+\frac { 1 }{ x }  } \right)  }^{ 2 } }-2 }  } }  }  \\ x+\frac { 1 }{ x } =t \\ \frac { { dt } }{ { dx } } =1-\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  \\ =-\int { \frac { { dt } }{ { t\sqrt { { t^{ 2 } }-1 }  } }  }  \\ =-\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } { \sec ^{ -1 }  }\left( { \frac { t }{ { \sqrt { 2 }  } }  } \right) +C \\ =-\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } \left[ { \frac { \pi  }{ 2 } -\cos  e{ c^{ -1 } }\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } }  } \right] +C \\ =\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } \cos  e{ c^{ -1 } }\left( { \frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } }  } \right) +C' \\ =\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } { \sin ^{ -1 }  }\left( { \frac { { \sqrt { 2 }  } }{ t }  } \right) +C' \\ =\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } { \sin ^{ -1 }  }\left( { \frac { { \sqrt { 2 }  } }{ { x+\frac { 1 }{ x }  } }  } \right) +C' \\ =\frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } { \sin ^{ -1 }  }\left( { \frac { { \sqrt { 2 } x } }{ { { x^{ 2 } }+1 } }  } \right) +C' \\ Hence,\, option\, B\, is\, the\, correct\, answer. \end{array}$$

$$I=\int { \dfrac { { { x^{ 3 } }-1 } }{ { { x^{ 3 } }+x } } dx }  \\ I=\int { \dfrac { { \left( { x-1 } \right) \left( { { x^{ 2 } }+x+1 } \right)  } }{ { x\left( { { x^{ 2 } }+1 } \right)  } } dx }  \\ I=\int { \dfrac { { x-1 } }{ x } +\int { \dfrac { { x-1 } }{ { { x^{ 2 } }+1 } } dx }  } $$

$$\begin{array}{l} Let \\ I=\int { { e^{ { x^{ 2 } }-\frac { 1 }{ x }  } }\left( { 1+2{ x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x }  } \right) dx }  \\ =\int { { e^{ { x^{ 2 } }-\frac { 1 }{ x }  } }\left( { x\left( { 2x+\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  } \right) +1 } \right) dx }  \\ =\int { { e^{ g } }\left( { fg'+f' } \right) dx }  \\ ={ e^{ g } }f+C \\ ={ e^{ x-\frac { 1 }{ { { x^{ 2 } } } }  } }\times x+C \\ Hence,\, option\, C\, is\, the\, correct\, answer. \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \int { { e^{ \frac { x }{ 2 }  } }.\sin  \left( { \frac { x }{ 2 } +\frac { \pi  }{ 4 }  } \right) dx }  \\ let\, \, \left( { \frac { x }{ 2 } +\frac { \pi  }{ 4 }  } \right) =t \\ \frac { { dx } }{ 2 } =dt \\ dx=2dt \\ \Rightarrow 2\int { { e^{ t-\frac { \pi  }{ 4 }  } }\sin  t }  \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } \int { { e^{ t } }\sin  t=\sin  t. } \int { { e^{ t } }dt } -\int { \left[ { \frac { { d\sin  t } }{ { dt } } \int { { e^{ t } }dt }  } \right] dt }  \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } \int { { e^{ t } }\sin  t={ e^{ t } }\sin  t+ } \int { \cos  t.{ e^{ t } }\, dt }  \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } \int { { e^{ t } }\sin  t } ={ e^{ t } }\sin  t+\cos  t\int { { e^{ t } }dt } -\int { \frac { { d\cos  t } }{ { dt } }  } \int { \left. { { e^{ t } }dt } \right]  } dt \\ \Rightarrow \frac { 2 }{ { { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } \int { { e^{ t } }\sin  t={ e^{ t } }\sin  t+\cos  t.{ e^{ t } } } -\int { \sin  t.{ e^{ t } }dt }  \\ \Rightarrow \int { { e^{ t } }\sin  t\left[ { \frac { 2 }{ { { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } +1 } \right] ={ e^{ t } }\left( { \sin  t+\cos  t } \right) +c }  \\ \Rightarrow \int { { e^{ t } }\sin  t=\frac { { \sqrt { 2 } { e^{ t } }\sin  \left( { t+\frac { \pi  }{ 4 }  } \right) \times { e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } }{ { \left( { 2+{ e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } \right)  } } +c }  \\ =\frac { { \sqrt { 2 } { e^{ \left( { \frac { x }{ 2 } =\frac { \pi  }{ 2 }  } \right)  } }{ { \sin   }^{ \left( { \frac { x }{ 2 } +\frac { \pi  }{ 2 }  } \right)  } } } }{ { 2+{ e^{ \frac { \pi  }{ 4 }  } } } } . \end{array}$$

Let $$I=\displaystyle\int\dfrac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$$

$$\begin{array}{l} \int { \frac { { dx } }{ { \sqrt { { { \sin   }^{ 3 } }x\sin  \left( { x+a } \right)  }  } }  }  \\ =\int { \frac { { dx } }{ { \sqrt { { { \sin   }^{ 3 } }x\sin  x\left( { \cos  a+\cot  x\sin  a } \right)  }  } }  }  \\ =\int { \frac { { \cos  e{ c^{ 2 } }xdx } }{ { \sqrt { \cos  a+\sin  a\cot  x }  } }  }  \\ \cos  a+\sin  a\cot  =t \\ \frac { { dt } }{ { dx } } =-\sin  a\cos  e{ c^{ 2 } }x \\ -\frac { 1 }{ { \sin  a } } dt=\cos  e{ c^{ 2 } }xdx \\ =-\frac { 1 }{ { \sin  a } } \int { \frac { { dt } }{ { \sqrt { t }  } }  }  \\ =-\frac { 1 }{ { \sin  a } } \int { { t^{ \frac { { -1 } }{ 2 }  } }dt }  \\ =\frac { { -2 } }{ { \sin  a } } { t^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }+C \\ =-2\cos  eca\sqrt { \cos  a+\sin  a\cot  x } +C \end{array}$$

In the neighourwood of $$x=0$$    $$f(x)=\log 2-\sin x$$

$$\begin{array}{l} I=\int { \dfrac { 1 }{ { \sqrt { x } +\sqrt { x+1 }  } } dx }  \\I= \int { \dfrac { 1 }{ { \sqrt { x } +\sqrt { x+1 }  } } \times \dfrac { { \sqrt { x } -\sqrt { x+1 }  } }{ { \sqrt { x } -\sqrt { x+1 }  } } dx }  \\I= \int { \dfrac { { \sqrt { x } -\sqrt { x+1 }  } }{ { x-x-1 } } dx }  \\ I=-1\left[ { \int { \sqrt { x } dx } I=-\int { \sqrt { x+1 } dx }  } \right]  \\ I=-\left[ { \dfrac { { { x^{ 3/2 } } } }{ { \dfrac { 3 }{ 2 }  } } -\dfrac { { { { \left( { x+1 } \right)  }^{ 3/2 } } } }{ { \dfrac { 3 }{ 2 }  } }  } \right] +c \\ I=\dfrac { 2 }{ 3 } \left[ { { { \left( { x+1 } \right)  }^{ 3/2 } }-{ x^{ 3/2 } } } \right] +c \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \int  _{ { a_{ 2 } } }^{ { a_{ 1 } } }{ \frac { { d\theta  } }{ { 1+\tan  \theta  } }  } \\ I=\int  _{ \frac { \pi  }{ { 2008 } }  }^{ \frac { { 1003\pi  } }{ { 2008 } }  }{ \frac { { d\theta  } }{ { 1+\tan  \theta  } }  } \\ I=\int  _{ \frac { \pi  }{ { 2008 } }  }^{ \frac { { 1003\pi  } }{ { 2008 } }  }{ \frac { { \tan  \theta  } }{ { 1+\tan  \theta  } }  }d\theta  \\ 2I=\int  _{ \frac { \pi  }{ { 2008 } }  }^{ \frac { { 1003\pi  } }{ { 2008 } }  }{ d\theta  } \\ 2I=\frac { { 1002\pi  } }{ { 2008 } }  \\ I=\frac { { 501 } }{ { 2008 } } \pi  \\ k=2008 \end{array}$$

$$\begin{array}{l} g\left( x \right) =\int _{  }^{  }{ { x^{ x } } } \left( { 1+\log { e^{ x } }  } \right) dx \\ =\int _{  }^{  }{ d\left( { { x^{ x } } } \right)  }  \\ g\left( x \right) ={ x^{ x } } \\ g\left( \pi  \right) ={ \pi ^{ \pi  } } \end{array}$$

$$I=\int { \dfrac { 1 }{ {9{ x^{ 2 } }-25 } } dx } $$

$$ I=\int { { e^{ 3\log_ex } }.{ { \left( { { x^{ 4 } }+1 } \right)  }^{ -1 } }dx }  $$

$$\begin{array}{l} \int { \dfrac { { { x^{ 2 } }-x } }{ { { x^{ 3 } }-{ x^{ 2 } }+x-1 } } dx }  \\ \Rightarrow \int { \dfrac { { x\left( { x-1 } \right)  } }{ { { x^{ 2 } }\left( { x-1 } \right) +1\left( { x-1 } \right)  } } dx }  \\ \Rightarrow \int { \dfrac { x }{ { \left( { { x^{ 2 } }+1 } \right)  } } dx }  \\ Let\, \, { x^{ 2 } }+1=t \\ \Rightarrow 2x\, \, dx=dt \\ \Rightarrow \dfrac { 1 }{ 2 } \int { \dfrac { { dt } }{ t } =\dfrac { 1 }{ 2 } \log  t+c\, \, \, \, =\dfrac { 1 }{ 2 } \log  \left( { { x^{ 2 } }+1 } \right) +c\, \, \, \, \, \, Ans. }  \end{array}$$